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数学从根本玩的是概念,而不是技巧

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在线会员 发表于 5 天前 | 显示全部楼层 |阅读模式
李邦河院士于 2009 年 4 月在中国数学会厦门学术年会上荣获“华罗庚数学奖”。

本文是李院士在这次年会上所做的公众陈诉,他在陈诉中谈到一个紧张的头脑:数学玩的是概念,而不是纯粹的本领。
由于中小学数学内里的概念比力少,以是就在一些困难、本领上下功夫,这恰好是舍本逐末的做法,值得全部的数学教诲工作者深思。


撰文 | 李邦河(中国科学院数学与体系科学研究院研究员)
数学从根本玩的是概念,而不是技巧
非常感谢市科协和我们的校领导给我这个机会,在这里和同砚们晤面,一起互换一下对数学的见解。起首我的标题是数的概念的发展,我料想,相当一部门同砚对这个标题不感爱好,缘故起因就是大多数人在中学学习数学时,会以为数学紧张的不是概念,紧张的是解题,好比多少题要会画辅助线,另有数学比赛中比力难的标题。那么数的概念是什么呢,各人知道有理数啊,一看就知道了,绝大多数同砚不会去记这个界说,什么是有理数的界说?多少的概念也不易被器重,由于什么是三角形,正方形,矩形,菱形,一看就知道。中学数学容易给人一种错觉,概念是不紧张的,对于数学紧张的是本领。很多人上了大学,哪怕是到了数学系也抱着这种见解。根据我上大学以后搞数学研究的履历,数学根本上是玩概念的,不是玩本领。
本领不敷道也!熟能生巧,数学比赛的人都是要培训的,巧都是学来的。数学概念是人类聪明的结晶,主要体现在概念的形成。我们现在以为自然数 1,2,3,4 很自然,但人类发展汗青中能熟悉“1”优劣常不简单的。早期人们并不知道“1”,“1”是从大量的“一头牛、一头羊” 中抽象出来的。以是从哲学的观点去想,“1”是了不得的,而“0”更是了不得。中国古代没有 0 这个数字,用算筹表现数字,一根筷子是 1,两根筷子是 2,用空着的位置表现 0。但 0.101 怎么表现,我不知道。最早是印度数学家发明 0 的,熟悉到 0 也是个数,要用圈这个符号来表现,是很了不得的。负数更是了不得,西方熟悉到负数优劣常晚的,大概十四五世纪。欧洲数学中多少出现比力早,欧几里得多少是希腊时期,公元前二三百年就有多少,但没有负数实数概念。当时如果比出来不是有理数的话还不能继续,叫不可公度;负数的观念这时也没有。但我们中国在公元前二三百年就有了负数概念,西汉时期《九章算术》有解线性方程组的消去法的完备步调,就出现负数。中国古代对无理数的概念在理论上是没有的,但在实际上是有的,小数反面多少位都行。好比  这个数,祖冲之曾算到 3.1416,并知道可以无穷往下算,这就有了无穷逼近的头脑,极限的观念根本上有了,但是概念上并没有明确提出。无理数概念的明确提出是到了微积分的时期,这时才对实数做了一个完备的形貌,由柯西序列的等价类来界说,这个时间实数理论才完备。真正搞数学的人知道要弄清楚这个也并不容易,进入高等数学后概念比力多,对概念不器重的人,学多了就糊涂了。微积分的概念还不是很多,但学高等代数、线性代数内里就有很多概念,如果不器重根本概念,对于知识爆炸的大学数学,你是学欠好的。微积分里最大值最小值,微分中值定理你有没有记得很清楚,会不会用,泰勒睁开的麦克劳林余项,有没有记着?要用根本的东西去办理题目,而不是玩本领,可以说用到某个定理就是最大的本领。
中学数学里概念就很少,只能出很难的题,来看谁的水平高。到大学里紧张的则是根本概念,这个东西把握得很透,才气到达高水平。到了研究生之后,底子数学内里的代数数论、代数拓扑、微分拓扑里头,概念更是爆炸,都很难明确,不下功夫是不可的,由于对象很复杂。我渴望喜好数学的人千万要器重根本概念,不但要记着,还要通过具体的例子来深入地明确。那么什么是概念呢?概念是一个抽象的东西,它包罗了大量的具体的东西。一个概念越抽象涵盖的具体的事物越多,即外延越广。好比,刚刚讲的“1”这个例子,它可以涵盖一个苹果、一个梨、一头牛。自然数是数学里最简单的了,可见我们的起步就很抽象。抽象和具体也是相对而言。1,2,3,4 等对于具体事变来说是抽象的,而对于我们数学来说,又没有比它更具体的。有理数比整数复杂了一点,无理数更复杂,它是无穷不循环小数,但这对于我们搞数学的来说都很具体。我们每上一个台阶,从前抽象的东西就具体了。客观天下非常复杂,偶然候你不得不抽象,否则形貌不了。有理数、无理数之后是复数,这时间已经到了高斯的期间,在牛顿、莱布尼兹之后的期间还继续不了。起首是,,这个  ,开始各人都不认可它是数。高斯画出  轴, 轴,用  表现一个向量的时间,这就比力具体了,各人才以为可以继续。继续之后,人们发现它很有用,有很多值得研究的,于是有了大量研究。复变函数论中的留数定理,在盘算定积分时将实数延拓到复平面上,就可以把原来在实轴上办理不了的定积分算出来,这对于热爱数学的人来说就会以为太神奇了,这都归功于复数的概念。再发展到厥后就是四元数,就是 ,,,,,,但是 。在中学时人们学互换律、分配律大概以为毫偶然思,由于感觉总是创建。但是这并不总是创建的,到四元数时乘法互换律便不创建了。然后到八元数,八元数就是八个实数形成的一个数,对八元数乘法团结律就不创建了。这个时间你才知道数的团结律有多宝贵,是多么好、多么可爱的性子。四元数八元数还算具体的,到了大学里,各人还要学“抽象代数”,谁人“数”就乱套了,任何对象都可以是数,这个数只要有个加法或乘法就够了。乘法满意团结律,有单位,有逆元素就叫群了。那内里的元素是不是数,都以为是一样的。整数在加法之下也构成加法群。以是,群的元素可以说是与整数、有理数是一样的,这就使我们从更广的概念明确什么叫数。数学研究的东西,从大的方面来说,内里就有一对抵牾:一边是数,一边是形。形就是多少图形。最大的抽象逃不出数、形这两个东西。凡是可以举行代数运算的,好比群可以算,矩阵可以乘和加,都可以以为是数。而形就是多少图形,什么流形,地球,皮球,棱台,环面,三角形是形。三角形的边长呀,角呀,这是数。以是说,整个数学就是把形和数胶在一块,相互转化,相互表现。数学根本的抵牾就是数和形的抵牾。有了抽象代数以后,我们的数的概念大大扩充了。对群感爱好的人有物理学家、化学家、数学家。物理学家离不开群,好比到了原子物理,群就是物理学家的有力武器。这也是我们数学对其他学科的贡献。比群复杂的有环、域另有代数,在抽象代数里都可以学到。域,加减乘除都有,最简单的域只有 0 和 1 两个元素,但是它有加减乘除,加法、乘法都满意互换团结,分配律。这些在中学数学里看起来不起眼的东西,使我们可以大概推广,推广之后使得两个元素便构成一个域。对任何一个质数 ,,,,,,就构成一个域。这优劣常有用的。另有,好比 Clifford 代数,它是如许的,,;,;, 加法是每个位置相加,现在要界说一个乘法,规律是 ,。按照这个规律,界说了加法和乘法,这个加法满意互换律也满意团结律,乘法不满意互换律却满意团结律,分配律是创建的。如许界说的代数就叫 Clifford 代数,对于任何一个  ,都有一个。这个东西跟我们前面说的有什么关系呢?  =1 的时间的 Clifford 代数, 就是  ,,这就是我们熟知的  ,以是这个时间 Clifford 代数就是复数域。然后, 时,,,Clifford 代数是四元数体。但是,  的时间,它是八维的,跟八元数不一样,它是可以团结的,而八元数是不可以团结的。八元数的特点是,每个不便是零的元素可逆,因此是可除代数。那么可除代数是否只有一、二、四、八元数?有没有别的维的呢?当年的数学家,肯定对很多  都举行了试验,末告终果就没有发现别的。这是由于人们试验得不敷,照旧由于它究竟上就没有呢?我们等会再说。上世纪六十年代,引进了非标准分析,在非标准分析内里,有非标准分析的实数域,复数域。这些概念是数的概念紧张的发展。当年牛顿、莱布尼兹发明微积分时,是有无穷小的概念的想法的。牛顿的流数,一会是 0,一会不是 0,说不清楚,而莱布尼兹就说有种数叫无穷小,它比任何数都小。以是说当年发明人是使用了无穷小无穷大这个概念的,但是这个概念不严酷。以是,厥后数学发展中,就不接纳无穷小概念了,用 ,δ 来代替。但是物理学家他们没有严酷地用 ,δ,他们就用无穷靠迩来表现极限,而且无穷小、无穷大的概念是常常用的,而两个概念是相对而言的。当我们研究玉轮绕地球活动的时间,用牛顿力学中的引力定律的时间,不就是把地球这么大的东西看成了一个点嘛。物理学家以为只要能办理题目就可以。但是数学家想在理论上美满它。到了上世纪六十年代,创建非标准分析的人发现,可以把牛顿莱布尼兹当年关于无穷小无穷大的想法严酷化。当年是由于没有找到严酷化的步调,以是不再接纳这种概念。我以为,这也是数的概念发展中非常紧张的事变。非标准分析中的实数域、复数域现在还没有被各人所广泛继续,但是我信赖有一天会被各人继续的,就像复数的发展进程一样。我现在要讲为什么只有一、二、四、八元数。我们要来证实。民间数学家中有人研究这个,我从前遇到一个人说他搞出来一个三元的,我告诉他不大概,这是为什么呢?  维欧氏空间 :此中 ,,,,有内积 ,有长度 ,令 第位, 元数要求乘法满意,,有单位元 。若 ,则 ,以是由  到  的映射是  的正交变更。因此 ,,…, 是相互垂直的。三维的时间如果它有如许一个乘法,就有两个相互垂直且一连变革的向量走遍整个球面。这个大概吗?退一步说,在球面上每点放一个不为零的向量,让它一连变革,这有没有大概?不知道的话料想也行。搞数学是要靠料想进步的,这才有动力。(这时听众中有人以为可以) 有同砚说可以,不是整个地球,光是赤道一圈可以,但这个能不能扩充到整个球面上?赤道上可以,跑到北极就会有题目,就会有奇点。以是这位同砚的这个方法是不可行的。这对于一个圆周可以,好比汽车可以绕赤道转一圈,汽车在 45 度纬线圈也可以,但跑到北极的时间只有一点了,那点就不能界说一个方向。现在我来告诉各人,答案是不大概。由于任何时间,地球上总有一点是没有风的。球面上不大概存在一个到处不为零的向量场是一连的变革的,这是拓扑学的一个结论。球面的欧拉示性数,即分割成三角形后的顶点数-边数+面数,是 2,与把球面怎样分割成三角形无关,肯定是 2,这叫拓扑性子。反过来说,环面,就是轮胎,把它分成三角形,盘算欧拉示性数是 0。刚刚说到的圆周的欧拉示性数是 0。有个定理:一个流形上承载着如许的非零的一连向量场的充实须要条件是它的欧拉示性数是 0。以是,由这个定理,球面上不大概有,环面上有。这就表现了抽象数学的威力。不大概是很深刻的,我们是由定理证实的。大概的话造出来就完了,不大概的话靠试验是不可的,不大概的证实一样寻常是很深刻的。我们找出向量场与欧拉示性数的关系,由于欧拉示性数不便是零,就给出这个不大概的证实。为什么只有一、二、四、八元数呢?就我所知这一点须要用到上个世纪六十年代以后的定理才气证出来。四元数、八元数不但要求一连向量场存在,而且要求  个线性无关的单位正交的切向量场。就是说如果有乘法满意 ,则一定存在着  维空间的球面上  个相互垂直的单位向量场,而且是一连变动的。如许的  只有 2,4,8,其他维数不大概。于是这就告诉我们的民间数学家们不消再忙了,这是数学上证实了不大概的。另有三平分角的题目,华罗庚早说过这是不大概的,很多民间数学家们以为是由于长期得不到才这么说的,着实不是的,这是颠末证实了的。下面我们回首一下它们的应用。实数是无处不在的,复数在工程上应用很广,好比电学中的互换电,量子力学,量子场论等离开  都是不可的,我信赖非标准分析有一天也会和复数一样应用广泛。长度为 1 的四元数可以用来表现全部旋转,但是是二对一,四元数在工程上也很有用。有很多旋转,好比说呆板人制造时臂的旋转,三维的旋转群是用 3×3 的矩阵表现的,非常不方便,而用四元数表现后,参数就简单了。Clifford 代数对拓扑学也很紧张,在物理上也很有用。李洪波传授就把Clifford 代数用于吴老师的多少定理呆板证实。回复提问部门:我先讲到这里,有什么题目各人来共同讨论。我照旧以为概念很紧张,各人有什么感想可以互换。题目回复:
1. 我以为生存中用初等数学就够了。
高深数学的发展,好比相对论,在生存中有什么用,也没有用。
一样寻常人小学数学学得好就够了。
对于我们大门生就不一样了,好比相对论对原子物理,加速器等的引导意义是不可低估的。
原子物理,原子核,原子弹,核电都离不开高深的数学知识。
经济学家现在就很器重数学,一个国家的经济研究所用的数学知识是很复杂的。
生存中的吃住就很简单,但我们有更高的寻求,好比太空的探索。
我们寻求幸福,要身段康健,精力快乐,我们看着我们的神六上天,各人都很高兴,我想这对我们的身段康健也很起作用。
再好比我们有个大的发现,也很开心。
而汗青证实,任何科学发现都有用,熟悉了客观天下,你才气驾御天下。
2. 你的想法可以归去用严酷的数学语言写一下,肯定会发现题目的,但是写的过程你也能得到很好的锻炼。
3. 数学美不美,好比我刚讲的,地球上任何时间都有一处是风平浪静的,这是我们数学家证实的定理,这跟墨客仅仅出于感受的感叹相比怎样,是不是很美?
以是我说数学有不可改动的美。
数学的推理,只要大条件准确,推理过程没错,结论肯定是准确的。
比物理更美,物理的定律是可以颠覆的。
物理实用的范围常常被颠覆,而数学的范围是一开始就定了,什么条件下创建的。
本文经授权转载自《好玩的数学》微信公众号



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来源:http://mp.weixin.qq.com/s?src=11&timestamp=1626928211&ver=3205&signature=CAmURpVKsDyjwsv5-i14QBR4NqsISITcA03AJVeEctp*TsJDnLle*08d81W-MNjKUUF7yw3z-n5USAZnKQK1YnGWCbqFJjPWsu-IqH8sMSgXQTkbdNbfgchBw3z6N41f&new=1
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